算法学习笔记(1) ：并查集

admin 2024年02月13日 00:25 64 0

　　并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

　　当然，这样的定义未免太过学术化，看完后恐怕不太能理解它具体有什么用。所以我们先来看看并查集最直接的一个应用场景：亲戚问题。

　　（洛谷P1551）亲戚题目背景若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。题目描述规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。输入格式第一行：三个整数n,m,p，（n<=5000,m<=5000,p<=5000），分别表示有n个人，m个亲戚关系，询问p对亲戚关系。以下m行：每行两个数Mi，Mj，1<=Mi，Mj<=N，表示Mi和Mj具有亲戚关系。接下来p行：每行两个数Pi，Pj，询问Pi和Pj是否具有亲戚关系。输出格式P行，每行一个’Yes’或’No’。表示第i个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。

　　这其实是一个很有现实意义的问题。我们可以建立模型，把所有人划分到若干个不相交的集合中，每个集合里的人彼此是亲戚。为了判断两个人是否为亲戚，只需看它们是否属于同一个集合即可。因此，这里就可以考虑用并查集进行维护了。

　　并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。我曾看过一个有趣的比喻，把集合比喻成帮派，而代表元素则是帮主。接下来我们利用这个比喻，看看并查集是如何运作的。

　　最开始，所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。（对于只有一个元素的集合，代表元素自然是唯一的那个元素）

　　现在1号和3号比武，假设1号赢了（这里具体谁赢暂时不重要），那么3号就认1号作帮主（合并1号和3号所在的集合，1号为代表元素）。

　　现在2号想和3号比武（合并3号和2号所在的集合），但3号表示，别跟我打，让我帮主来收拾你（合并代表元素）。不妨设这次又是1号赢了，那么2号也认1号做帮主。

　　现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并，江湖局势变成下面这样：

　　现在假设2号想与6号比，跟刚刚说的一样，喊帮主1号和4号出来打一架（帮主真辛苦啊）。1号胜利后，4号认1号为帮主，当然他的手下也都是跟着投降了。

　　好了，比喻结束了。如果你有一点图论基础，相信你已经觉察到，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：（好像有点像个火柴人？）

　　用这种方法，我们可以写出最简单版本的并查集代码。

　　假如有编号为1, 2, 3, ..., n的n个元素，我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点（因为每个元素有且只有一个父节点，所以这是可行的）。一开始，我们先将它们的父节点设为自己。

　　我们用递归的写法实现对代表元素的查询：一层一层访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。

　　合并操作也是很简单的，先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可。当然也可以将后者的父节点设为前者，这里暂时不重要。本文末尾会给出一个更合理的比较方法。

　　最简单的并查集效率是比较低的。例如，来看下面这个场景：

　　现在我们要merge(2,3)，于是从2找到1，fa[1]=3，于是变成了这样：

　　然后我们又找来一个元素4，并需要执行merge(2,4)：

　　从2找到1，再找到3，然后fa[3]=4，于是变成了这样：

　　大家应该有感觉了，这样可能会形成一条长长的链，随着链越来越长，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。

　　怎么解决呢？我们可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点，那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能短，最好只需要一步，像这样：

　　其实这说来也很好实现。只要我们在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。下一次再查询时，我们就可以省很多事。这用递归的写法很容易实现：大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　以上代码常常简写为一行：

　　注意赋值运算符=的优先级没有三元运算符?:高，这里要加括号。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而，对于某些时间卡得很紧的题目，我们还可以进一步优化。

　　有些人可能有一个误解，以为路径压缩优化后，并查集始终都是一个菊花图（只有两层的树的俗称）。但其实，由于路径压缩只在查询时进行，也只压缩一条路径，所以并查集最终的结构仍然可能是比较复杂的。例如，现在我们有一棵较复杂的树需要与一个单元素的集合合并：

　　假如这时我们要merge(7,8)，如果我们可以选择的话，是把7的父节点设为8好，还是把8的父节点设为7好呢？

　　当然是后者。因为如果把7的父节点设为8，会使树的深度（树中最长链的长度）加深，原来的树中每个元素到根节点的距离都变长了，之后我们寻找根节点的路径也就会相应变长。虽然我们有路径压缩，但路径压缩也是会消耗时间的。而把8的父节点设为7，则不会有这个问题，因为它没有影响到不相关的节点。

　　这启发我们：我们应该把简单的树往复杂的树上合并，而不是相反。因为这样合并后，到根节点距离变长的节点个数比较少。

　　我们用一个数组rank[]记录每个根节点对应的树的深度（如果不是根节点，其rank相当于以它作为根节点的子树的深度）。一开始，把所有元素的rank（秩）设为1。合并时比较两个根节点，把rank较小者往较大者上合并。

　　路径压缩和按秩合并如果一起使用，时间复杂度接近 O(n) ，但是很可能会破坏rank的准确性。

　　为什么深度相同，新的根节点深度要+1？如下图，我们有两个深度均为2的树，现在要merge(2,5)：

　　这里把2的父节点设为5，或者把5的父节点设为2，其实没有太大区别。我们选择前者，于是变成这样：

　　显然树的深度增加了1。另一种合并方式同样会让树的深度+1。

　　我们先给出亲戚问题的AC代码：

　　接下来我们来看一道NOIP提高组原题：

　　（NOIP提高组2017年D2T1 洛谷P3958 奶酪）题目描述现有一块大奶酪，它的高度为，它的长度和宽度我们可以认为是无限大的，奶酪中间有许多半径相同的球形空洞。我们可以在这块奶酪中建立空间坐标系，在坐标系中，奶酪的下表面为 z=0 ，奶酪的上表面为 z = h 。现在，奶酪的下表面有一只小老鼠 Jerry，它知道奶酪中所有空洞的球心所在的坐标。如果两个空洞相切或是相交，则 Jerry 可以从其中一个空洞跑到另一个空洞，特别地，如果一个空洞与下表面相切或是相交，Jerry 则可以从奶酪下表面跑进空洞；如果一个空洞与上表面相切或是相交，Jerry 则可以从空洞跑到奶酪上表面。位于奶酪下表面的 Jerry 想知道，在不破坏奶酪的情况下，能否利用已有的空洞跑到奶酪的上表面去?空间内两点 P_1(x_1,y_1,z_1) 、 P2(x_2,y_2,z_2) 的距离公式如下： $\mathrm{dist}(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ 输入格式每个输入文件包含多组数据。的第一行，包含一个正整数，代表该输入文件中所含的数据组数。接下来是组数据，每组数据的格式如下：第一行包含三个正整数 n,h 和，两个数之间以一个空格分开，分别代表奶酪中空洞的数量，奶酪的高度和空洞的半径。接下来的行，每行包含三个整数 x,y,z ，两个数之间以一个空格分开，表示空洞球心坐标为 (x,y,z) 。输出格式行，分别对应组数据的答案，如果在第组数据中，Jerry 能从下表面跑到上表面，则输出，如果不能，则输出（均不包含引号）。